Algebraische Grundlagen der Informatik: Zahlen — Strukturen by Kurt-Ulrich Witt

By Kurt-Ulrich Witt

Warum beeintr?chtigen bestimmte Kratzer auf einer CD nicht die Wiedergabequalit?t? Wie k?nnen Daten?bertragungen gegen Informationsverlust gesichert werden? Warum und wie funktionieren ?ffentliche Verschl?sselungssysteme? Worin ist deren Sicherheit begr?ndet? Auf welcher Grundlage werden Routing-Tabellen in Netzwerkknoten erstellt? Wie wird eine optimale Kompression von Daten erreicht?
Diese und viele andere Fragen m?ssen zufriedenstellend beantwortet werden k?nnen, um bestimmte Qualit?ten von Informations- und Kommunikationstechnologien zu erreichen. Informatikerinnen und Informatiker aller Studienrichtungen m?ssen in der Lage sein, diese Technologien erfolgreich einzusetzen und weiterzuentwickeln. Dazu m?ssen sie die Grundlagen kennen, auf denen diese Technologien basieren.
Wesentliche Grundlagen liefert die Mathematik. Dieses Buch gibt eine Einf?hrung in Erkenntnisse und Konzepte der Algebra und der diskreten Mathematik, die f?r die Beantwortung obiger und weiterer Fragestellungen von Bedeutung sind. In shape von in sich geschlossenen Lektionen werden die mathematischen Begriffe schrittweise erarbeitet. So weit wie m?glich werden die Begriffe durch praktische Problemstellungen motiviert, sodann werden deren anwendungsrelevante Eigenschaften vorgestellt und begr?ndet sowie deren Einsatz an konkreten Beispielen gezeigt. Neben den mathematischen Grundlagen schult das Studium dieses Buches Abstraktionsverm?gen und Probleml?sef?higkeit, die zu unverzichtbaren Kompetenzen von Informatikerinnen und Informatikern geh?ren.

Durch seinen ausgezeichneten didaktischen Aufbau sowie durch viele Beispiele und ?bungsaufgaben mit vielen L?sungshinweisen ist das Buch sowohl als Begleitung zu entsprechenden Lehrveranstaltungen als auch zum Selbststudium sowie zu Pr?fungsvorbereitungen hervorragend geeignet.

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14 Es seien al = a2 = a3 = -,r» ((p V p) 1\ (q V ( ( -,r V q) 1\ p) (p 1\ (q V -,r V q» 23 Mengen und Logik o Eine Klauselmenge abstrahiert von äquivalenten Umformungen mit Kommutativitäts-, Assoziativitäts- und Dsitributivitätsregeln. Da es sich bei der Klauselmenge einer Formel also nur um eine andere Darstellung dieser Formel handelt, können die Begriffe Belegung, Interpretation, Ableitungsregel, (Un-) Erfüllbarkeit, Folgerung und Äquivalenz auf Klauselmengen entsprechend übertragen werden. 11: Die Resolution erfolgt mithilfe der Ableitungregel PI V ...

8: Seien a, ß, "/ E A. 7 V Subjunktion wegen der Assoziativität der Disjunktion wegen der Tautologieregel wegen Kommutativität und Assoziativität wegen der Tautologieregel V "/ Normalformen und aussagenlogische Basen Wir kennen bisher folgende fünf zweistellige Verknüpfungen: V, 1\, ->, ~ und EB. Für die weiteren Betrachtungen führen wir für a, ß E A noch zwei neue Verknüpfungen ein: ai ß (NAND) und a ! ß bzw. (aVß). 10. Der folgende Satz beantwortet die Frage, wie viele n-stellige Verknüpfungen es prinzipiell geben kann.

Also gibt es 22n verschiedene n-stellige aussagenlogische Verknüpfungen. 5: Es gibt 16 verschiedene zweistellige aussagenlogische Verknüp0 fun~n. Es stellt sich nun die Frage, ob man tatsächlich 22n verschiedene Operatoren braucht oder ob man einige Operatoren mithilfe anderer äquivalent darstellen kann. 11: Es seien a, ß E A aussagenlogische Formeln. a A ß)) (a (a V -+ ß) ß) 1\ (ß -+ a)) Subjunktion, Bijunktion und exklusives Oder sind also durch Negation, Disjunktion und Konjunktion darstellbar.

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