Algorithmes d’approximation by Vijay V. Vazirani

By Vijay V. Vazirani

Le champ des algorithmes d'approximation est aujourd'hui l'un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Il allie l. a. profondeur de l. a. th?orie math?matique aux promesses d'applications pratiques d'un int?r?t consid?rable. l. a. plupart des probl?mes issus d'applications proper de domaines aussi diff?rents que l. a. perception de circuits VLSI, l. a. notion et l. a. planification de r?seaux, l'ordonnancement, los angeles th?orie des jeux, los angeles biologie ou los angeles th?orie des nombres, sont des probl?mes NP-difficiles. Leur r?solution exacte demanderait des ressources informatiques inaccessibles et ne peut donc ?tre envisag?e. Pour faire face ? cette scenario, un grand nombre d'algorithmes proposant des strategies approch?es ? ces probl?mes ont ?t? d?velopp?s. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de los angeles derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d'?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? los angeles beaut? des r?sultats. Ce livre reveal ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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3. L’arbre de Steiner et le voyageur de commerce 39 D´emontrez que ∞ N (z) dz z=0 est un minorant de OPT. 17 est une 2-approximation. 10 (I. M˘ andoiu) Cet exercice construit une 9-approximation pour le probl`eme suivant, dont une application est le routage d’horloge VLSI. 18 (Arbre rectilin´ eaire isochrone) Etant donn´e un ensemble S de points du plan rectilin´eaire (c’est-`a-dire muni de la norme 1 ), trouver un arbre isochrone 10 (ZST) de S, de longueur minimum, c’est-`a-dire une arborescence T du plan rectilin´eaire dont les feuilles sont les points de S et dont tous les chemins de la racine a` une feuille ont la mˆeme longueur.

Les ´etudes des cas m´etriques de ces deux probl`emes ont des justifications diff´erentes. Pour l’arbre de Steiner, c’est le cœur du probl`eme – le probl`eme g´en´eral se r´eduit au cas m´etrique. Le probl`eme du voyageur de commerce, quant a` lui, n’admet aucune approximation garantie sans cette restriction, `a moins que P = NP. Nous pr´esentons ces deux probl`emes ensemble car les algorithmes et leurs analyses sont similaires. 1 L’arbre de Steiner m´ etrique Le probl`eme de l’arbre de Steiner a ´et´e formalis´e par Gauss dans une lettre (reproduite en couverture) qu’il ´ecrivit a` Schumacher.

L’analyse de votre algorithme est-elle au plus pr`es ? 4 Donnez un algorithme glouton pour le probl`eme suivant qui soit une 1/4-approximation. 15 (Coupe maximum orient´ ee)7 Etant orient´e G = (V, E) muni d’une fonction de coˆ ut positive sur les arcs, trouver un sous-ensemble S ⊂ V tel qu’il maximise le coˆ ut total des arcs qui sortent de S, c’est-`a-dire u∈S,v∈S coˆ ut(u → v). 5 (N. 1 et le fait que le probl`eme de la couverture par sommets se r´esout en temps polynomial lorsque le graphe est biparti.

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