Algorithmes d'approximation (Collection IRIS) by Vijay V. Vazirani

By Vijay V. Vazirani

Le champ des algorithmes d’approximation est aujourd’hui l’un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de los angeles derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d’?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? los angeles beaut? des r?sultats. Ce livre divulge ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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15 (Coupe maximum orient´ ee)7 Etant orient´e G = (V, E) muni d’une fonction de coˆ ut positive sur les arcs, trouver un sous-ensemble S ⊂ V tel qu’il maximise le coˆ ut total des arcs qui sortent ut(u → v). 5 (N. 1 et le fait que le probl`eme de la couverture par sommets se r´esout en temps polynomial lorsque le graphe est biparti. 13. H est biparti et pour tout sommet v, degH (v) (1/2) degG (v). 6 (Wigderson [266]) Consid´erons le probl`eme suivant. 16 (Coloration de sommets)8 Etant donn´e un graphe non orient´e G = (V, E), colorier avec un nombre minimal de couleurs ses sommets de sorte que les extr´emit´es de chaque arˆete re¸coivent des couleurs diff´erentes.

Les ` propri´et´es ci-dessus garantissent que la coupe associ´ee est bien une coupe de poids minimum entre u et v, ce poids ´etant w (e). Ainsi, nous n’avons besoin que de n − 1 coupes, encod´ees par les arˆetes d’un arbre de Gomory-Hu, pour trouver une coupe de poids minimum s´eparant chacune des n2 paires de sommets de G. La figure suivante pr´esente un graphe pond´er´e et son arbre de GomoryHu associ´e. 6 montre comment construire un arbre de GomoryHu pour un graphe non orient´e, en utilisant seulement n − 1 calculs de flot maximum.

Le probl`eme est de trouver un sous-graphe de G de coˆ ut minimal tel que tout destinataire est reli´e par un chemin `a l’un des exp´editeurs (n’importe lequel). S´eparons les instances en deux cat´egories : E ∪ D = V et E ∪ D = V . D´emontrez que ces deux cas sont respectivement dans P et NP-difficile. Proposez une 2-approximation pour le second cas. Indication : Ajoutez un sommet suppl´ementaire reli´e `a chaque exp´editeur ´ par une arˆete de coˆ ut nul. Etiquetez requis le nouveau sommet ainsi que tous les destinataires, puis Steiner les autres.

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